ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Einsteinmodell</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Einsteinmodell</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Das <b>Einstein-Modell</b> ist ein Modell in der <a href="Festk%C3%B6rperphysik" title="Festkörperphysik">Festkörperphysik</a> zur Erklärung des Temperaturverlaufs der <a href="W%C3%A4rmekapazit%C3%A4t" title="Wärmekapazität">Wärmekapazität</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(T)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a2d4f8c78ce899f92c15e2ce79fbecb97e16b8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.212ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(T)}" loading="lazy"></span> eines <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpers</a>. Es stammt aus der Frühzeit der <a href="Quantenphysik" title="Quantenphysik">Quantenphysik</a> und geht auf die Arbeit <i>Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme</i> zurück, die 1907 von <a href="Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> veröffentlicht wurde.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Es führt die innere Energie eines Festkörpers auf die unabhängige und isotrope harmonische Oszillation der einzelnen Atome zurück. Jedes Atom kann weiterhin nur mit einer materialabhängigen, aber für den Festkörper konstanten Einstein-Frequenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{E}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{E}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/066d1ae2016e171d7c64814531cc9ec863e620b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.934ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{E}}" loading="lazy"></span> schwingen. Obwohl die Atomschwingungen im Modell als voneinander unabhängig angenommen werden (und daher nicht von <a href="Gitterschwingung" title="Gitterschwingung">Gitterschwingungen</a> des gesamten Kristalls ausgegangen wird), entspricht das mit heutigen Begriffen ausgedrückt, der Annahme ausschließlich <a href="Phonon#Schwingungsmoden" title="Phonon">optischer Phononen</a> im Festkörper.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Es steht zwischen dem klassischen Modell der <a href="Dulong-Petit-Gesetz" title="Dulong-Petit-Gesetz">Dulong-Petit-Regel</a> (1819), das <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(T)=\mathrm {konst.} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(T)=\mathrm {konst.} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5ac289b54f273417be5c0150548f75623d943d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(T)=\mathrm {konst.} }" loading="lazy"></span> postuliert und dem ebenfalls quantenphysikalischen <a href="Debye-Modell" title="Debye-Modell">Debye-Modell</a> von 1910. Ersteres scheitert daran, dass für niedrige Temperaturen ein Abfall der Wärmekapazität auf null beobachtet wird (also insbesondere nicht konstant bleibt). Das Debye-Modell hingegen macht die Annahme ausschließlich <a href="Phonon#Schwingungsmoden" title="Phonon">akustischer Phononen</a> im Festkörper und geht anders an das Problem heran. Dennoch zeigen das Einstein- und Debye-Modell den qualitativ selben Verlauf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(T)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a2d4f8c78ce899f92c15e2ce79fbecb97e16b8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.212ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(T)}" loading="lazy"></span>. Da jedoch das Debye-Modell höhere Werte im Bereich für mittlere Temperaturen postuliert, die mit experimentellen Messungen Bestätigung finden, wird es häufiger als das Einstein-Modell herangezogen.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Dennoch wäre allgemein anzunehmen, dass in einem Kristall sowohl optische, als auch akustische Phononen auftreten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historischer_Kontext">Historischer Kontext</h2></div>

<p>Einsteins Motivation für sein Modell der Wärmekapazität war die Anwendung der <a href="Quantenhypothese" title="Quantenhypothese">Quantenhypothese</a> von <a href="Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a> (1900), die dieser damals für die <a href="Plancksches_Strahlungsgesetz" title="Plancksches Strahlungsgesetz">Emission in Strahlungsfelder</a> verwendete. Bereits 1905 wandte Einstein diese Hypothese (in der Originalliteratur von ihm durchgängig als „Plancksche Theorie“ bezeichnet) auf die Absorption von Strahlung an, um den <a href="Photoelektrischer_Effekt#Äußerer_photoelektrischer_Effekt" title="Photoelektrischer Effekt">äußeren Photo-Effekt</a> zu deuten.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Mit der Anwendung der Quantenhypothese auf die Festkörperphysik dagegen war es möglich, dieses plancksche Postulat auf den rein materiellen Bereich auszudehnen. Einstein motiviert seine Arbeit damit, dass „[wenn] die Plancksche Theorie der Strahlung den Kern der Sache trifft, so müssen wir erwarten, auch auf anderen Gebieten der Wärmetheorie Widersprüche zwischen der gegenwärtigen molekular-kinetischen Theorie und der Erfahrung zu finden, die sich auf dem eingeschlagenen Wege heben lassen“. Mit dem „eingeschlagenen Wege“ bezog er sich auf die gerade neu entstehende Quantenphysik, die sich mit der Entdeckung der <a href="Materiewelle" title="Materiewelle">Materiewellen</a> und einer ganzheitlichen Theorie der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> durch u. a. <a href="Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation" title="Heisenbergsche Unschärferelation">Heisenberg</a> und <a href="Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">Schrödinger</a> schlussendlich auch durchsetzte.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundlagen_des_Modells">Grundlagen des Modells</h2></div>

<p>Die Gitterschwingungen des Kristalls werden <a href="Quantelung" title="Quantelung">gequantelt</a>, d. h., der Festkörper kann <a href="Schwingungsenergie" class="mw-redirect" title="Schwingungsenergie">Schwingungsenergie</a> nur in <a href="Diskret" title="Diskret">diskreten</a> <a href="Quant" title="Quant">Quanten</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93a0972faaef7e31c901452afdb2d20e1513aa6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}" loading="lazy"></span> aufnehmen. Diese Quanten nennt man auch <a href="Phonon" title="Phonon">Phononen</a>. Man beschreibt den Festkörper dann als aus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span> <a href="Harmonischer_Oszillator_(Quantenmechanik)" title="Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)">quantenharmonischen Oszillatoren</a> bestehend, die jeweils in drei Richtungen unabhängig schwingen können. Die Besetzungs<a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">wahrscheinlichkeit</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle n\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle n\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/591b81beaaf66f9e21fe885d4a9521c0390bee67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.204ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle n\rangle }" loading="lazy"></span> einer solchen <a href="Schwingungsmode" class="mw-redirect" title="Schwingungsmode">Schwingungsmode</a> (eines Phonons) hängt von der <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> ab und folgt (da Phononen <a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a> sind) der <a href="Bose-Einstein-Verteilung" class="mw-redirect" title="Bose-Einstein-Verteilung">Bose-Einstein-Verteilung</a>:

</p>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle n\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right)-1}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96d992e40873d112d68bce169eb8fbe85a39d66f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:21.885ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \langle n\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right)-1}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }" loading="lazy"></span>: <a href="Reduzierte_Planck-Konstante" class="mw-redirect" title="Reduzierte Planck-Konstante">reduzierte Planck-Konstante</a></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{\mathrm {E} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5aea30ba33ec14074e4ca4c4bed70bad5e13625a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{\mathrm {E} }}" loading="lazy"></span>: Einstein-Frequenz (<a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenz</a>)</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b90d21a1c8fb907fddab1caded3b7f1eeffe3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.607ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}" loading="lazy"></span>: <a href="Boltzmann-Konstante" title="Boltzmann-Konstante">Boltzmann-Konstante</a>.</li></ul>

<p>Damit ergibt sich die <a href="Innere_Energie" title="Innere Energie">innere Energie</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"></span> im Festkörper zu (es wurde die Quantisierungsbedingung des harmonischen Oszillators verwendet):

</p>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}U&=3N\cdot \hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }\cdot \left(\langle n\rangle +{\frac {1}{2}}\right)\\&=3N\cdot \hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }\cdot \left({\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right)-1}}+{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f7e48ce3005a7848903d818fc411bd6af6108d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.671ex; width:42.488ex; height:16.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}U&=3N\cdot \hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }\cdot \left(\langle n\rangle +{\frac {1}{2}}\right)\\&=3N\cdot \hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }\cdot \left({\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right)-1}}+{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span>: <a href="Teilchenzahl" title="Teilchenzahl">Teilchenzahl</a>.</li></ul>

<p>Der Beitrag <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae12c5e4cc578b947e39936d6d8ab804ce340547.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.619ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{2}}}" loading="lazy"></span> gibt die <a href="Nullpunktenergie" class="mw-redirect" title="Nullpunktenergie">Nullpunktenergie</a> an.

</p><p>Der Beitrag der Phononen zur Wärmekapazität ist dann:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V={\rm {const}}}=3N\cdot {\frac {(\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} })^{2}}{k_{\mathrm {B} }\cdot T^{2}}}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right)-1\right]^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2a8fea33c4e08549d552664af6cf8de4741bb3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:58.139ex; height:10.676ex;" alt="{\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V={\rm {const}}}=3N\cdot {\frac {(\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} })^{2}}{k_{\mathrm {B} }\cdot T^{2}}}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right)-1\right]^{2}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"></span>: <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a>.</li></ul>

<p>Mit der Einstein-Temperatur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{\mathrm {E} }={\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{\mathrm {E} }={\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3df0b9c360ae210a124fe19fa82915de8ac726b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.877ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{\mathrm {E} }={\frac {\hbar \cdot \omega _{\mathrm {E} }}{k_{\mathrm {B} }}}}" loading="lazy"></span> ergibt sich eine einfachere Schreibweise:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{V}\left(T\right)=3N\cdot k_{\mathrm {B} }\cdot \left({\frac {\Theta _{\mathrm {E} }}{T}}\right)^{2}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\Theta _{\mathrm {E} }}{T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\Theta _{\mathrm {E} }}{T}}\right)-1\right]^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3b2a03c5956a08ca06b5072c8417a50b95015c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:47.034ex; height:10.676ex;" alt="{\displaystyle C_{V}\left(T\right)=3N\cdot k_{\mathrm {B} }\cdot \left({\frac {\Theta _{\mathrm {E} }}{T}}\right)^{2}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\Theta _{\mathrm {E} }}{T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\Theta _{\mathrm {E} }}{T}}\right)-1\right]^{2}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Versagen_bei_tiefen_Temperaturen">Versagen bei tiefen Temperaturen</h2></div>

<p>Wie das Debye-Modell liefert das Einstein-Modell das korrekte Hochtemperaturlimit nach dem <a href="Dulong-Petit-Gesetz" title="Dulong-Petit-Gesetz">Dulong-Petit-Gesetz</a>:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\rightarrow \infty \colon \ C_{V}\rightarrow 3\cdot N\cdot k_{\mathrm {B} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9aedc2dde09f1bbdc9b52562135c96417d695e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.152ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\rightarrow \infty \colon \ C_{V}\rightarrow 3\cdot N\cdot k_{\mathrm {B} }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Im <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Limes</a> kleiner Temperaturen ergibt sich:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\rightarrow 0\colon \ C_{V}\sim \mathrm {e} ^{-\Theta _{\mathrm {E} }/T}\rightarrow 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/831f883d072cec603af167040bf7aa352b10bfe8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.934ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T\rightarrow 0\colon \ C_{V}\sim \mathrm {e} ^{-\Theta _{\mathrm {E} }/T}\rightarrow 0}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dieser Verlauf von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{V}(T)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{V}(T)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74501aa25365d35ea4cdd897528e5b6337aa1478.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.603ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{V}(T)}" loading="lazy"></span> für kleine Temperaturen weicht allerdings erheblich von Messungen ab. Dies hängt mit der Annahme zusammen, alle harmonischen Oszillatoren im Festkörper würden mit einer einheitlichen Frequenz schwingen. Die Verhältnisse im realen Festkörper sind jedoch deutlich komplizierter.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>A. Einstein: <i>Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme.</i> Annalen der Physik, volume 22, S. 180–190, 1907. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1907_22_180-190.pdf">Online</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Albert Einstein: <cite style="font-style:italic">Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annalen der Physik</cite>. 1907.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einsteinmodell&rft.atitle=Die+Plancksche+Theorie+der+Strahlung+und+die+Theorie+der+spezifischen+W%C3%A4rme&rft.au=Albert+Einstein&rft.btitle=Annalen+der+Physik&rft.date=1907&rft.genre=book" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/physik/einstein-modell/3795"><i>Einstein-Modell.</i></a><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 7. September 2025</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AEinsteinmodell&rft.title=Einstein-Modell&rft.description=Einstein-Modell&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.spektrum.de%2Flexikon%2Fphysik%2Feinstein-modell%2F3795&rft.language=de"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Gerhard H. Findenegg, Thomas Hellweg: <cite style="font-style:italic">Statistische Thermodynamik</cite>. In: <cite style="font-style:italic">SpringerLink</cite>. 2015, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-37872-0">10.1007/978-3-642-37872-0</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einsteinmodell&rft.atitle=Statistische+Thermodynamik&rft.au=Gerhard+H.+Findenegg%2C+Thomas+Hellweg&rft.btitle=SpringerLink&rft.date=2015&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-37872-0&rft.genre=book" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">A. Einstein: <cite style="font-style:italic">Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annalen der Physik</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>322</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>6</span>, 1905, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221521-3889%22&key=cql">1521-3889</a></span>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>132–148</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/andp.19053220607">10.1002/andp.19053220607</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Einsteinmodell&rft.atitle=%C3%9Cber+einen+die+Erzeugung+und+Verwandlung+des+Lichtes+betreffenden+heuristischen+Gesichtspunkt&rft.au=A.+Einstein&rft.date=1905&rft.doi=10.1002%2Fandp.19053220607&rft.genre=journal&rft.issn=1521-3889&rft.issue=6&rft.jtitle=Annalen+der+Physik&rft.pages=132-148&rft.volume=322" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-10-14" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Einsteinmodell&oldid=260576085">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>